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【深度学习】梯度和方向导数概念解析（代码基于Pytorch实现）

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文章目录
1 方向导数
2 梯度
3 自动求导实现
4 梯度下降
    4.1 概述
    4.2 小批量梯度下降
5 总结

1 方向导数

方向导数的本质是一个数值，简单来说其定义为：一个函数沿指定方向的变化率。

因此，构建方向导数需要有两个元素：

1) 函数

2) 指定方向

当然，与普通函数的导数类似，方向导数也不是百分之百存在的，需要函数满足在某点处可微，才能计算出该函数在该点的方向导数。

至于其物理含义，这里采用最常用的下山图来表示。

在这里插入图片描述简单将上图看作是一座山的模型，我们处在山上的某一点处，需要走到山下。理论上来说，这座山的表面是可以通过一个函数的描述的（虽然想要找到这个函数可能很难），而这个函数可以在不同的方向上都确定出一个方向导数，这就好比于如果我们想下山，道路并不是唯一的，而是可以沿任何方向移动。区别在于有些方向可以让我们下山速度更快，有些方向让我们下山速度更慢，有些方向甚至引导我们往山顶走（也可以理解为下山速度时负的）。在这里，速度的值就是方向导数的直观理解。

2 梯度

梯度与方向导数是有本质区别的，梯度其实是一个向量，其定义为： 一个函数对于其自变量分别求偏导数，这些偏导数所组成的向量就是函数的梯度。 这句话记住背下来！！！ 在很多资料中可以看到如下的梯度定义方法：

在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时， f(x,y) 的变化率。偏导数的表示符号为:∂。偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

表示固定面上一点的切线斜率。偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。注意： f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。在这里插入图片描述

诚然，这种定义方法更加权威，但是却不够直观，这也是为什么我在高等数学课堂上学习梯度概念时感觉云里雾里。这种定义方法只针对二元函数，所以公式中的i，j可分别表示为函数在x和y方向上的单位向量，这样的描述可以让我们更好理解（因为人类大脑可以比较轻松的理解三维世界的模型图），但是一旦到了更高维度的世界，单纯靠这个公式就不容易理解了。

3.梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系应该如何描述呢？函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

以上描述非常好理解，那如何证明呢？

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3 自动求导实现

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存储梯度：在这里插入图片描述通过调用反向传播函数来计算y关于x每个一分量的梯度。

4 梯度下降

4.1 概述

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4.2 小批量梯度下降

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#反向传播过程解析
#2D函数最优化曲线
#画3D函数图像输出
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import mpl_toolkits.mplot3d
figure=plt.figure()
#ax = Axes3D(figure)
ax=figure.gca(projection="3d")
x1=np.linspace(-6,6,1000)
y1=np.linspace(-6,6,1000)
x,y =np.meshgrid(x1,y1)
z=(x**2+y-11)**2+(x+y**2-7)**2
#ax.plot_surface(x,y,z,rstride=10,cstride=4,cmap=cm.YlGnBu_r)
ax.plot_surface(x,y,z,cmap="rainbow")
plt.show()

#梯度下降法寻找2D函数最优值函数
def f(x):
return (x[0]**2+x[1]-11)**2+(x[0]+x[1]**2-7)**2
x=torch.tensor([-4.,0.],requires_grad=True) #
optimizer=torch.optim.Adam([x],lr=1e-3)
for step in range(20000):
　　pre=f(x)
　　optimizer.zero_grad()
　　pre.backward()
　　optimizer.step()
　　if step % 2000==0:
　　　　print(step,x.tolist(),pre)

输出结果如下所示：在这里插入图片描述